X乘以sinx的不定积分在微积分的进修中，求解不定积分一个重要的环节。其中，函数 $ x \cdot \sin x $ 的不定积分是常见的题目其中一个，它涉及了“分部积分法”这一重要技巧。这篇文章小编将对 $ \int x \cdot \sin x \, dx $ 进行详细推导，并通过表格形式拓展资料关键步骤和结局。
一、难题分析
函数 $ x \cdot \sin x $ 一个多项式函数与三角函数的乘积形式，直接积分较为困难。因此，我们采用分部积分法（Integration by Parts）来解决该难题。
分部积分公式为：
$$
\int u \, dv = uv – \int v \, du
$$
二、分部积分经过
设：
– $ u = x $，则 $ du = dx $
– $ dv = \sin x \, dx $，则 $ v = -\cos x $
代入公式得：
$$
\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx
$$
继续计算：
$$
\int \cos x \, dx = \sin x
$$
因此最终结局为：
$$
\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
三、关键步骤拓展资料（表格）
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设定变量 | $ u = x $，$ dv = \sin x \, dx $ |
| 2 | 计算导数与积分 | $ du = dx $，$ v = -\cos x $ |
| 3 | 应用分部积分公式 | $ \int x \cdot \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx $ |
| 4 | 积分剩余项 | $ \int \cos x \, dx = \sin x $ |
| 5 | 最终结局 | $ \int x \cdot \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C $ |
四、重点拎出来说
通过对 $ x \cdot \sin x $ 的不定积分进行分部积分法的推导，我们得到了如下结局：
$$
\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
该结局在微积分中具有广泛的应用，尤其在物理、工程等领域中常用于处理含有线性项与三角函数相乘的难题。
附注： 在实际应用中，建议对结局进行验证，可以通过对结局求导来确认是否正确。例如：
$$
\fracd}dx}(-x \cos x + \sin x) = -\cos x + x \sin x + \cos x = x \sin x
$$
这表明我们的积分结局是正确的。
