三角形外接圆的半径怎么求三角形外接圆的面积公式

三角形外接圆的半径怎么求在几何进修中，三角形的外接圆一个重要的概念。外接圆是指经过三角形三个顶点的圆，其圆心称为外心，是三角形三条边的垂直平分线的交点。而外接圆的半径则是从外心到任一顶点的距离。了解怎样求解三角形外接圆的半径，对于解决相关几何难题具有重要意义。

下面内容是几种常见的求解三角形外接圆半径的技巧，结合公式与实例进行划重点，便于领会和应用。

一、基本公式

三角形外接圆半径 $ R $ 的计算公式有多种，根据已知条件不同，可以选择不同的技巧。下面内容是常用的几种方式：

公式	适用条件	说明
$ R = \fraca}2\sin A} $	已知一边和对角	$ a $ 为边长，$ A $ 为对应的角
$ R = \fracb}2\sin B} $	同上	$ b $ 为边长，$ B $ 为对应的角
$ R = \fracc}2\sin C} $	同上	$ c $ 为边长，$ C $ 为对应的角
$ R = \fracabc}4S} $	已知三边和面积	$ a, b, c $ 为三边，$ S $ 为面积
$ R = \fraca}2\sqrt1 – \left(\fracb^2 + c^2 – a^2}2bc}\right)^2}} $	已知三边	利用余弦定理推导

二、具体应用举例

示例1：已知三边长度

设三角形三边分别为 $ a = 5 $，$ b = 6 $，$ c = 7 $，求外接圆半径。

步骤：

1. 计算面积 $ S $，使用海伦公式：

s = \fraca + b + c}2} = \frac5 + 6 + 7}2} = 9

S = \sqrts(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt216} = 6\sqrt6}

2. 代入公式：

R = \fracabc}4S} = \frac5 \times 6 \times 7}4 \times 6\sqrt6}} = \frac210}24\sqrt6}} = \frac35}4\sqrt6}} \approx 3.52

示例2：已知一个角和对应边

设三角形中，边 $ a = 8 $，角 $ A = 60^\circ $，求外接圆半径。

步骤：

R = \fraca}2\sin A} = \frac8}2 \times \sin 60^\circ} = \frac8}2 \times \frac\sqrt3}}2}} = \frac8}\sqrt3}} \approx 4.62

三、

三角形外接圆的半径可以通过多种方式求得，具体选择哪种技巧取决于已知条件。如果已知三边和面积，推荐使用公式 $ R = \fracabc}4S} $；如果已知某一边和对应的角，则使用 $ R = \fraca}2\sin A} $ 更为简便。

掌握这些技巧不仅有助于进步解题效率，也能加深对三角形外接圆性质的领会。

怎么样？经过上面的分析划重点，可以更清晰地领会怎样求解三角形外接圆的半径，并灵活应用于实际难题中。